Bifurkatsiyalar va falokatlar nazariyasi. Sakkizinchi ma'ruza. Bifurkatsiyalar Bifurkatsiyalar nazariyasining amaliy qo'llanilishi

Dissipativ tuzilmalar

Dissipativ struktura I. Prigojinning tuzilmalar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biridir. Umuman olganda, tizim muvozanatsiz bo'lishi mumkin, ammo ma'lum bir tarzda tartibga solingan va tashkil etilgan. I. Prigojin bunday tizimlarni dissipativ tuzilmalar deb atadi (lat. tarqalish- tezlashtirish, erkin energiyani tarqatish), bunda tartiblangan holatlar muvozanatdan sezilarli og'ishlar bilan paydo bo'ladi. Bu tuzilmalarning hosil bo'lishi jarayonida entropiya kuchayadi va tizimning boshqa termodinamik funktsiyalari ham o'zgaradi. Bu uning umumiy xaotik tabiati saqlanib qolayotganidan dalolat beradi. Dissipatsiya energiyani yo'qotish jarayoni sifatida ochiq tizimlarda strukturalarni shakllantirishda muhim rol o'ynaydi. Ko'pgina hollarda tarqalish ortiqcha energiyani issiqlikka aylantirish shaklida amalga oshiriladi. Yangi turdagi tuzilmalarning shakllanishi tartibsizlik va tartibsizlikdan tashkilot va tartibga o'tishdan dalolat beradi. Ushbu dissipativ dinamik mikro tuzilmalar tizimning kelajakdagi holatlarining prototiplari bo'lib, fraktallar deb ataladi (lat. fraktus- kasr, kesilgan). Aksariyat fraktallar yoki to'liq shakllanmasdan yo'q qilinadi (agar ular tabiatning asosiy qonunlari nuqtai nazaridan foydasiz bo'lib chiqsa) yoki ba'zida o'tmishning alohida arxaik qoldiqlari bo'lib qoladi (masalan, xalqlarning qadimgi odatlari, qadimgi so'zlar va boshqalar). Bifurkatsiya nuqtasida (tarmoq nuqtasi) fraktal shakllanishlarning o'ziga xos tabiiy tanlanishi mavjud. Atrof-muhit sharoitlariga eng moslashgan ta'lim "omon qoladi".

Qulay sharoitlarda yangi struktura (fraktal) "o'sadi" va asta-sekin yangi makrostrukturaga - attraktorga aylanadi. Bunday holda, tizim yangi sifat holatiga o'tadi. Ushbu yangi holatda tizim o'zining hujum harakatini keyingi bifurkatsiya nuqtasiga qadar, ya'ni navbatdagi muvozanatsiz fazaga o'tishgacha davom ettiradi.

Umuman olganda, energiyani yo'qotish, harakat va ma'lumotni susaytirish jarayoni sifatida dissipatsiya ochiq tizimlarda yangi tuzilmalarning shakllanishida juda konstruktiv rol o'ynaydi. Dissipativ tizim uchun rivojlanishning aniq yo'lini oldindan aytib bo'lmaydi, chunki uning holatining dastlabki real sharoitlarini oldindan aytish qiyin.

Ochiq chiziqli bo'lmagan o'z-o'zini tashkil qilish tizimi doimo tebranishlarga duchor bo'ladi. Aynan tebranishlarda tizim rivojlanadi va nisbatan barqaror tuzilmalar tomon harakatlanadi. Bunga tizim va atrof-muhit o'rtasida doimiy energiya va moddalar almashinuvi yordam beradi.

Atrof-muhitdagi anomal o'zgarishlar tizimni dinamik muvozanat holatidan chiqarishi mumkin va u nomutanosiblikka aylanadi. Masalan, tizimga energiya oqimining kuchayishi tebranishlarni keltirib chiqaradi va uni muvozanatsiz va tartibga solinmaydi. Tizimning tashkil etilishi tobora beqaror bo'lib bormoqda, tizimning xususiyatlari o'zgarib bormoqda.



Agar tizimning parametrlari ma'lum bir kritik qiymatlarga erishsa, u holda tizim tartibsizlik holatiga o'tadi.

Muvozanatsiz jarayonning maksimal xaos holatiga bifurkatsiya nuqtasi deyiladi. Bifurkatsiya nuqtalari - bu tizimning keyingi rivojlanish yo'lini "tanlash" ning barqaror va beqaror nuqtalarining muvozanat nuqtalari.

Sinergetika uchun beqaror holatlar muhim ahamiyatga ega. Beqaror holatlarning paydo bo'lishi tizimning yangi sifat holatiga o'tishi uchun potentsial imkoniyat yaratadi. U tizimning yangi parametrlari va uning ishlashning yangi rejimi bilan ajralib turadi.

Yo'lni tanlash holatlarida, ya'ni bifurkatsiya nuqtalarida tasodifiy tebranishlar (tebranishlar) katta ahamiyatga ega. Tizim beqarorlik holatidan chiqish uchun ko'plab mumkin bo'lgan yo'llardan qaysi biri ularga bog'liq. Ko'pgina dalgalanmalar tarqaladi, ba'zilari tizimning keyingi rivojlanishiga ta'sir qilmaydi, chunki ular juda zaif. Ammo ma'lum chegara sharoitida, tasodifiy tashqi ta'sirlar tufayli, bu tebranishlar kuchayishi va rezonansda harakat qilishi, tizimni rivojlanishning ma'lum bir yo'lini (ma'lum bir traektoriyani) tanlashga undashi mumkin.

Bifurkatsiya nuqtalarida rivojlanish yo'llarini tanlashga duch kelgan o'z-o'zini tashkil etuvchi tizim ko'plab dissipativ dinamik mikro tuzilmalarni hosil qiladi, go'yo tizimning kelajakdagi holatining "embrionlari" - fraktallar. Keyingi yo'lni tanlashdan oldin bifurkatsiya nuqtalarida bunday holatlar to'plami deterministik yoki dinamik xaosni hosil qiladi. Biroq, tizimning kelajakdagi prototiplarining aksariyati - fraktal shakllanishlar raqobatda nobud bo'ladi. Natijada, tashqi sharoitga eng moslashgan mikro tuzilma omon qoladi. Bu butun jarayon tasodifiy va noaniq. Fraktal shakllanishlar raqobatidan omon qolgan yangi paydo bo'lgan makrostruktura attraksion deb nomlangan (yuqoriga qarang). Buning natijasida tizim yangi sifat jihatidan yuqori tashkiliy holatga o'tadi. Ushbu attraktorning harakat yo'nalishi zaruratga bo'ysunishni boshlaydi. Tizim endi o'zini xuddi qat'iy deterministik kabi tutadi.

Shunday qilib, attraktor evolyutsiya yo'lining bifurkatsiya nuqtasidan ma'lum bir oxirigacha bo'lgan segmentini ifodalaydi (u boshqa bifurkatsiya nuqtasi bo'lishi mumkin). An'anaviy attraktorlar dinamik tizimning barqarorligi bilan tavsiflanadi. Attraktor, xuddi magnit kabi, parametrlarning har xil boshlang'ich qiymatlari bilan belgilanadigan tizimning ko'plab turli traektoriyalarini o'ziga tortadi. Bu erda kooperativ, qo'shma jarayonlar juda muhim rol o'ynaydi, ular izchil, ya'ni vujudga keladigan barqaror tuzilmaning barcha elementlarining muvofiqlashtirilgan, o'zaro ta'siriga asoslanadi.

Attraksionni konus yoki voronkaga qiyoslash mumkin, u keng qismi bilan shoxlanish zonasiga, ya'ni bifurkatsiya nuqtasiga, tor qismi esa yakuniy natijaga, ya'ni tartiblangan tuzilishga qaragan. Agar tizim ma'lum bir jalb qiluvchining ta'sir doirasiga kirsa, u unga qarab rivojlanadi. Turli yo'llar bilan evolyutsiya bir xil jalb qiluvchilarga etib boradi. Buning natijasida tartib parametrlari, ya'ni barqaror dinamik holat hosil bo'ladi. Tizim ba'zi sabablarga ko'ra, shuningdek, tasodifiy tebranishlar tufayli yana beqaror holatga kelguniga qadar bu holatda qolishi mumkin. Bu sabablar disharmoniya, ochiq tizimning ichki holati va uning tashqi muhit sharoitlari o'rtasidagi nomuvofiqlik bilan bog'liq. Natijada, tizim o'zining barqarorligini yo'qotadi, xaotik holatga qaytadi va u yana ko'plab yangi rivojlanish yo'llariga ega bo'ladi. Aniqlik uchun tizim evolyutsiyasining bifurkatsiya jarayoni bifurkatsiya daraxti sifatida ifodalanishi mumkin (8.1-rasm).

Shunga o'xshash printsipdan foydalanib, biologik turlarning rivojlanishi yoki antropogenez evolyutsiya daraxti shaklida ifodalanishi mumkin.

Bifurkatsiya nuqtalarida hatto kichik tasodifiy o'zgarish ham tizimning jiddiy buzilishiga olib kelishi mumkin. Shu sababli, o'z-o'zini tashkil etuvchi tizimlarni ma'lum rivojlanish yo'llariga qo'pol ravishda yuklash mumkin emas. Bu erda tabiat va insonning birgalikda yashash yo'llarini o'rganish va topish, ularning birgalikdagi evolyutsiyasi, koevolyutsiyasi mohiyatini chuqur tushunishga harakat qilish kerak.

Bifurkatsiyalar nazariyasining asoslari 20-asr boshlarida qoʻyilgan. Fransuz matematigi A. Puankare va rus matematigi A. Lyapunov. Bu nazariya keyinchalik rus fizigi A. Andronov maktabida ham ishlab chiqilgan. Bifurkatsiyalar nazariyasi hozirgi vaqtda fanlararo fanlarda, shuningdek, fizika, kimyo va biologiyada keng qo‘llaniladi.

Guruch. 1. Tizim evolyutsiyasining bifurkatsion xarakteri (X, Z - sistemaning parametrlari, f - vaqt, A va B - bifurkatsiya nuqtalari)

Tizimning evolyutsion harakati, albatta, moslashuvchan mexanizmlarni sifat jihatidan yangi, yuqori darajaga qayta qurish zarurati bilan bog'liq. Agar tizim ichki qayta qurish tufayli yangi sharoitlarga moslasha olgan bo'lsa (boshqarsa), u yangi, tashkiliy jihatdan yuqori, barqaror holatga ega bo'ladi; bo'lmasa, u qulab tushadi va o'ladi. Tizim keyingi tasodifiy tebranishgacha moslashtirilgan barqaror holatda qolishi mumkin, shundan keyin vaziyat takrorlanadi. Ushbu sxemaga ko'ra, bu jarayonning tezligi har xil bo'lsa-da, barcha tizimlarning barcha strukturaviy darajadagi evolyutsion rivojlanishi sodir bo'ladi. Shunday qilib, Olamning kimyoviy evolyutsiyasi Katta portlash davridan to hozirgi kungacha davom etmoqda - bu taxminan 20 milliard yil, tirik materiyaning evolyutsiyasi - 3,7 milliard yil, odamning evolyutsiyasi - taxminan 2 million yil va insoniyat jamiyatining evolyutsiyasi - taxminan bir necha o'n ming yillar.

Sinergetik o'z-o'zini tashkil etish nuqtai nazaridan hayot bir qator murakkab tizimlarda paydo bo'lgan. Bunday holda, hayotni jismoniy va kimyoviy elementlarning to'plami ("yig'ish") deb hisoblash kerak.

Sinergetika nuqtai nazaridan tirik dunyoning evolyutsiyasi ham mantiqiy ko'rinadi, bu daraxtli sutemizuvchilarning rivojlanishi orqali insonning biologik tur sifatida, shuningdek, ijtimoiy tizim sifatida inson jamiyatining paydo bo'lishiga olib keldi.

Bifurkatsiyalar nazariyasi tabiatshunoslikda hamma joyda uchraydi. Haqiqiy jismoniy tizimlarni tavsiflovchi differentsial tenglamalar har doim aniq qiymatlari noma'lum bo'lgan parametrlarni o'z ichiga oladi. Agar fizik tizimni modellashtiruvchi tenglama tuzilmaviy jihatdan beqaror bo'lib chiqsa, ya'ni uning yechimining xatti-harakati o'ng tomonda o'zboshimchalik bilan kichik o'zgarish bilan sifat jihatidan o'zgarishi mumkin bo'lsa, unda fazali portretning qanday bifurkatsiyasi sodir bo'lishini aniqlash kerak. parametrlar o'zgarganda

Tabiatshunoslikda juda muhim va samarali tushuncha dinamik tizim tushunchasidir. Dinamik tizim deganda quyidagi xossalarga ega bo`lgan real jarayonning matematik modeli tushuniladi. Birinchidan, tizimning holatini o'ziga xos tarzda belgilaydigan ma'lum miqdorlar to'plami ma'lum bo'lishi kerak. Ikkinchidan, tizimning holati, agar uning dastlabki holati ma'lum bo'lsa, vaqtning istalgan nuqtasida bir ma'noda aniqlanishi mumkin bo'lgan qonun ma'lum bo'lishi kerak. Bu tushuncha juda keng va shuning uchun dinamik tizimlar misollarini fizika, biologiya, kimyo va boshqalarning deyarli barcha sohalarida topish mumkin.

Dinamik tizimning harakati, xususan, vaqt o'tishi bilan o'rnatilgan rejimlar ma'lum parametrlarga bog'liq bo'lishi mumkin. Ma'lum bo'lishicha, parametrning sekin o'zgarishi bilan barqaror rejimlarni sifat jihatidan qayta qurish mumkin. Dinamik tizimlarda parametrlar o'zgarganda (nafaqat xaritalashda, balki differensial tenglamalarda ham) bunday qayta tartibga solishni o'rganish bifurkatsiyalar nazariyasining predmeti hisoblanadi. U tipik bifurkatsiyalarni aniqlaydi, ularni o'rganadi va tasniflaydi. Bifurkatsiya nazariyasi matematika fanidir.

"Bifurkatsiya" so'zi "bifurkatsiya" degan ma'noni anglatadi va har qanday tizimda parametrlarning silliq o'zgarishi paytida yuzaga keladigan keskin o'zgarishlarning nomi sifatida ishlatiladi: dinamik, ekologik va hokazo. Maqola chiziqli bo'lmagan dinamik tizimlarning bifurkatsiyasiga bag'ishlangan.

Ko'pincha, jismoniy jarayonlarni modellashtirishda, modellashtirilgan jarayonlar doirasidagi o'zgarishlar ahamiyatsiz bo'lgan ba'zi o'zgaruvchilar konstantalar sifatida qabul qilinadi. Natijada asl nusxadan pastroq tartibli tizim paydo bo'ladi, ammo doimiy deb qabul qilingan atamalar o'zgarishining ta'sirini hisobga olish mumkin emas. Bunday holda, atamalarni buzilishlar deb hisoblash mumkin va modelni bifurkatsiyalar nazariyasi yordamida tavsiflash mumkin.

Bifurkatsiyalar ma'lum bir tasnifga imkon beradi. Birinchidan, bu bifurkatsiya mumkin bo'lgan tizim o'lchamining minimal qiymatiga ko'ra. Va, ikkinchidan, ushbu turdagi qayta qurish uchun zarur bo'lgan parametrlarning minimal soniga ko'ra.

1. Bifurkatsiya tushunchasi

Dinamik tizimlarning xatti-harakatlarini o'rganishda bifurkatsiyalar fundamental ahamiyatga ega. Ko'pincha bu ko'plab murakkab jarayonlarning paydo bo'lish mexanizmini aniqlaydigan bifurkatsiyalardir. Keling, bifurkatsiya nazariyasining ba'zi asosiy qoidalariga to'xtalib o'tamiz.

Masofadan boshqarish pulti bilan ifodalangan avtonom tizimning chiziqli bo'lmagan modeli bo'lsin

\begin(tenglama) (dx \overdt) = F(x,\lambda) \end(tenglama)

parametrining o'zgarishi bilan tavsiflanadi \ (\ lambda \). Haqiqiy tizimda bunday parametr harorat, bosim, kontsentratsiya, aholi sonining o'sish sur'ati va boshqalar bo'lishi mumkin. Shuni ta'kidlash kerakki, bu o'rganilishi kerak bo'lgan qat'iy parametrga ega maxsus model emas, balki dinamik modellar oilasi xatti-harakati \(\ lambda\) ga bog'liq.

Kritik qiymat deb ataladigan parametrning ma'lum bir qiymatida tizimdagi jarayonlar sifat jihatidan o'zgaradi. Bunda faza fazosining (2 o'lchamli faza tekisligi) traektoriyaga bo'linish strukturasi (topologiyasi) ham sifat jihatidan o'zgaradi. Nochiziqli sistemaning bu xossasi odatda bifurkatsiya (lotincha bifurcus - bifurkatsiya so'zidan) deb ataladi va bifurkatsiya kuzatiladigan o'zgaruvchan parametr \(\lambda\) bifurkatsiya parametri deb ataladi.

To'g'rirog'i, \(\lambda\) parametrining bifurkatsiya (kritik) qiymati uning dinamik tizim qo'pol bo'lmagan (tuzilmaviy jihatdan beqaror) bo'ladigan qiymatidir.

Dinamik tizimning pürüzlülüğü tushunchasini A.A. Andronov va L.S. Pontryagin. Quyidagi shakldagi DE bilan ifodalangan dinamik tizim

\[(dx_i \dt ustidan) = F(x), x = 1, …, n \]

domenida qo'pol deyiladi \(G \subset ((\bf(R))^n)\) agar har qanday \(\varepsilon > 0\) uchun bir \(\delta > 0\) ni belgilash mumkin ixtiyoriy analitik funksiyalar \((Q_i)((x_1),\; \ldots ,\;(x_n)) = (Q_i)((\bf(x)))\) o'zgartirilgan (boshqacha aytganda, bezovta qilingan) tizim

\[\frac((d(x_i)))((dt)) = (F_i)((\bf(x))) + (Q_i)((\bf(x))),i = 1,\; \ldots,\;n\]

tengsizlikni qondirish

\[\sum\limits_(i = 1)^n (\left[ (\left| ((Q_i)((\bf(x)))) \o'ng| + \sum\limits_(j = 1)^n (\left| (\frac((\qisman (Q_i)((\bf(x)))))((\qisman (x_j)))) \o'ng|) ) \o'ng]< \delta } \]

domenning o'ziga shunday birma-bir va o'zaro uzluksiz xaritalash mavjud bo'lib, unda asl (bezovtalanmagan) tizimning har bir traektoriyasi tizimning mos keladigan traektoriyasiga va orqaga tushiriladi. Bunday holda, bir-biriga mos keladigan nuqtalar \(\varepsilon \) dan kamroq masofada joylashgan. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, dinamik tizimlar - bu faza traektoriyalarining sifat tuzilishi dastlabki differensial tenglamaning o'ng tomonlarining ixtiyoriy ravishda kichik o'zgarishi bilan o'zgarmaydi.

Taxminan ikkinchi darajali dinamik tizimlar uchun quyidagi shartlar qondiriladi:

  1. mintaqada \(G \subset ((\bf(R))^2) \) faqat “tugun”, “fokus”, “egar” tipidagi oddiy singulyar nuqtalar (muvozanat holatlari) joylashishi mumkin, ya’ni shunday. , ular uchun chiziqli tizimning xarakteristik tenglamasi ildizlarining haqiqiy qismlari noldan farq qiladi. Bunday yagona nuqtalar (ularning cheklangan soni bor) qo'pol deyiladi;
  2. \(G\) domeni faqat oddiy chegara davrlarini o'z ichiga olishi mumkin, ularning soni cheklangan;
  3. mintaqada \(G\) egardan egarga o'tadigan ajratmalar mavjud emas. Bir yo'nalishda tugunga, fokusga, chegara aylanishiga yoki \(t\) ning ba'zi bir qiymatida \(G\) hududini tark etuvchi egarlarning ajratmalari mavjud bo'lishi mumkin.

Agar bu shartlar buzilgan bo'lsa, dinamik tizim qo'pol bo'lmaydi.

Koordinatalar va parametrlar fazosida bifurkatsiyalar nazariyasiga muvofiq, bifurkatsiya nuqtasidan muvozanat tenglamasining yechimining bir nechta tarmoqlari chiqishi mumkin.

\[(\bf(0)) = (\bf(F))((\bf(x)),\;\lambda)\]

ham barqaror, ham beqaror. Muvozanat pozitsiyalari koordinatalarining \(\lambda\) ga bog'liqligi grafiklari bifurkatsiya diagrammasi hisoblanadi.

Bifurkatsiyaning eng oddiy misoli quyidagi tizimdir

\[\frac((dx))((dt)) = \lambda x\]

Bu yechimga ega \(x(t) = (x_0)(e^(\lambda t))\), agar \(\lambda > 0(\lambda) boʻlsa, eksponensial oʻsishni (kamayishni) aniqlaydi.< 0)\) соответственно. Заметим, что приведенное выше уравнение определяет динамику цепной реакции \(\lambda >0\) va yadroviy parchalanish \(\lambda< 0\). Единственное состояние равновесия уравнения \(x = 0\) устойчиво при \(\lambda < 0\) и неустойчиво при \(\lambda > 0\).

Guruch. 1.1 - Bifurkatsiya parametrining turli qiymatlari uchun tizimning vaqt xususiyatlari

2. Tasniflash

Bifurkatsiyalar odatda matritsaning o'ziga xos qiymatlari uchun giperboliklik shartlarini buzish soniga qarab tasniflanadi.

\[(\bf(J))((\bf(x)),\;(\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m)) = \chap\| (\frac((\qisman (F_i)((\bf(x)),\;(\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m))))((\qisman (x_j)) )) \o'ng\|\]

Ruxsat etilgan nuqta giperbolik deb ataladi, agar unda aniqlangan Yakobi matritsasi \((\bf(J))\ xos qiymatlarni o'z ichiga olmaydi \((s_k) \) nol real qismga ega, ya'ni \((\rm) (Re))\,(s_k)\ne 0\).

Ko'p parametrli fazoni ko'rib chiqishda \(\Lambda \), bu fazoning (\(\lambda \in \Lambda \)) nuqtasi, unda dinamik tizimning xatti-harakatlarida sifat o'zgarishi sodir bo'ladi, bifurkatsiya nuqtasi deyiladi. \(\Lambda \) fazosi berilgan bifurkatsiyani tipik deb hisoblash uchun modelda mavjud bo'lishi kerak bo'lgan \(\( (\lambda _q)\) \) parametrlar sonini aniqlash muammosi bilan tavsiflanadi.

\(((s_k) \) matritsaning xos qiymatlari parametrlarning funksiyalari, ya'ni \((s_k)((\lambda _1),\; \ldots ,\ ; (\lambda _m))\). Keyin \((\rm(Re))\,(s_k) = 0\) ko`rinishdagi giperboliklikni buzish shartlari parametrlarga nisbatan tuzilgan tenglamalar tizimi bilan aniqlanadi. Masalan, ikkita haqiqiy xos qiymat bir vaqtning o'zida yo'q bo'lib ketishi uchun noma'lumlar uchun ikkita tenglamalar tizimining echimini topish kerak.

\[\begin(massiv)(l)
(s_1)((\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m)) = 0\\
(s_2)((\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m)) = 0
\end (massiv)\]

Quyidagi odatiy holatlar mumkin:

  • agar \(m = 1\) bo'lsa, u holda umumiy holatda yechim yo'q; bifurkatsiya aniqlanmaydi;
  • agar \(m = 2\), u holda yechim mumkin; bifurkatsiya bir yoki bir nechta nuqtalarda sodir bo'lishi mumkin \(\Lambda\);
  • agar \(m > 2\), u holda tipik hollarda giperbolik bo'lmagan nuqtalar \(\Lambda\) da \(m - 2\) o'lchamli sirtda joylashadi, ya'ni bifurkatsiya sirtlari hosil bo'lishi mumkin.

Umumiy holatda, agar \(k\) giperboliklikning buzilishi shartlarini qondirish zarur bo'lsa, u holda mumkin bo'lgan bifurkatsiya nuqtalari \((m - k)\) o'lchovli sirtda joylashgan bo'ladi. Giperboliklikni buzish uchun shartlar sonini aniqlaydigan \(k\) miqdori bifurkatsiyaning kodimensiyasi deb ataladi. Kosmosning o'lchami va bifurkatsiya yuzasining o'lchami o'rtasidagi farq sirtning kodimensiyasidir.

Bifurkatsiyaning kodimensiyasi dinamik sistemada kuzatiladigan bifurkatsiya tipik bo'lishi uchun qancha parametrlar aniqlanishi kerakligini ko'rsatadi. Boshqacha qilib aytganda, bifurkatsiyaning kodimensiyasi \(\Lambda\) fazoning eng kichik o'lchamidir, unda tegishli turdagi bifurkatsiya mumkin. Kelajakda bifurkatsiyalar nazariyasining asosiy qoidalarini tushunish qulayligi uchun bir parametrli tizimlarda kuzatiladigan 1-kodimensiyaning bifurkatsiyalarini ko'rib chiqish bilan cheklanish tavsiya etiladi. Yuqori tartibli bifurkatsiyalarni maxsus adabiyotlarda topish mumkin.

Bifurkatsiyalarning umumiy turlarini o'rganish ma'lum differensial tenglamalar bilan ifodalangan birinchi va ikkinchi tartibli modellar yordamida amalga oshiriladi. Bunday holda, chiziqli modellarda Yakobiy matritsasining bitta nol yoki ikkita xayoliy xos qiymatlari paydo bo'ladi.

2.1 Oddiy harakatga ega tizimlardagi bifurkatsiyalar

Tizimning qo'polligi ma'lum traektoriyalarning qo'polligini bildiradi. Bunday traektoriyalar ichida barqaror muvozanat holatlari va davriy harakatlar birinchi navbatda ajralib turadi, chunki ular statsionar holatlar va o'z-o'zidan tebranishlarning matematik tasviridir.

n o'lchovli tizimning muvozanat holati \(\mathop x\limits^. = X(x)\) nuqta \(M((x^*))\), bu erda \((x^*)\) sistemaning yechimi \ (X(x) = 0\). Xarakteristik tenglamaning ildizlari \((\lambda _(1,))(\lambda _2), …(\lambda _n)\) orasida \(\det (\frac((\qisman)) boʻlsa, bu qoʻpol emas. X((x^ *))))((\qisman x)) - \lambda E) = 0\) xayoliy o'qda yotgan ildizlar mavjud. Agar \((\mathop(\rm Re)\nolimits) (\lambda _i)< 0,i = 1,…n \), состояние равновесия является устойчивым. Если имеются корни как с отрицательной, так и с положительной реальной частью, то состояние равновесия носит название седлового. К нему будут стремиться траектории как при \(t \to + \infty \), так и при \(t \to — \infty \) , в совокупности образуя устойчивое \({W^s}\) и неустойчивое \({W^u}\) многообразия. Периодическое решение \(x = \phi (t) \) этой системы будет негрубым, если среди мультипликаторов \({\rho _1},{\rho _2},…{\rho _{n — 1}}\) имеются равные по модулю 1. Если же \(\left| {{\rho _i}} \right| < 1\), периодическое движение устойчивое, и седловое, если среди мультипликаторов есть как лежащие внутри единичного круга, так и вне его.

Hozirgi vaqtda bunday traektoriyalarning asosiy (1-kodimensiya) mahalliy va global bifurkatsiyalari batafsil o'rganilgan.

Barqaror muvozanat holati:

  1. yo'qoladi, beqaror bilan birlashadi. Bifurkatsiya momentida egar tugunlari deb ataladigan muvozanat holati xayoliy o'qda yotgan va nolga teng faqat bitta xarakterli ildizga ega.
  2. barqarorlikni yo'qotadi. Bunday holda, agar bifurkatsiya momentida muvozanat holati barqaror (beqaror) bo'lsa, muvozanat holatidan barqaror (beqaror) davriy harakat tug'iladi (unga yopishadi). Tebranishlarning hosil bo'lishini tushuntiruvchi bu bifurkatsiya Andronov-Xopf deb ataladi.

Barqaror davriy harakat quyidagilarga imkon beradi:

  • yo'qoladi, bifurkatsiya momentida beqaror bilan birlashadi. \(n > 2\) uchun qo'pol bo'lmagan davriy harakat egar-tugun harakati deb ataladi.
  • barqarorlikning tug'ilishi bilan barqarorlikni yo'qotadi
    • qo'sh davrning davriy harakati, agar multiplikator (-1) ga teng bo'lsa,
    • ikki o'lchovli invariant torus agar \((\rho _(1,2)) = (e^( \pm i\phi ))\), bu erda \(\phi \ne 0,\pi ,\frac(\pi) ) (2),\frac((2\pi ))(3)\).

Barqaror davriy harakatlar quyidagi global bifurkatsiyalar natijasida ham tug'ilishi mumkin:

  1. xarakterli ildizlarga ega egardan kelayotgan traektoriyadan \((\mathop(\rm Re)\nolimits) (\lambda _i)< 0\), \(i=1, … ,n-1\), и седловой величиной \(\max {\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} + {\lambda _n} < 0\) в то же седло,
  2. muvozanat holati yo'qolganda egar tugunidan unga boradigan traektoriyadan,
  3. egar-tugun davriy harakati yo'qolganda, beqaror manifoltning barcha traektoriyalari birgalikda davriy harakat atrofida kuchli siqilgan quvur o'rashini hosil qiladi. Ushbu bifurkatsiya "ko'k osmon falokati" deb ataladi va uning o'ziga xos xususiyati shundaki, parametr bifurkatsiya qiymatiga moyil bo'lganligi sababli, davriy harakatlarning uzunligi cheksizlikka intiladi.

1-kod bo'lsa, egarning davriy harakatlari 1) egardan unga o'tadigan traektoriyadan, 2) egar-egar turining qo'pol bo'lmagan muvozanat holatidan, u yo'qolganda (bunday muvozanat holatida) tug'ilishi mumkin. ikki qoʻpol egar birlashganda hosil boʻladi.)

Ro'yxatdagi barcha bifurkatsiyalar oddiy traektoriya harakati bilan tizimlar sinfini tark etmaydi.

2.2 Murakkab harakatga ega tizimlardagi bifurkatsiyalar

Trayektoriyalarning murakkab xatti-harakati bo'lgan tizimning asosiy xususiyati egar tipidagi traektoriyalardan iborat qo'pol chegaraning mavjudligi bo'lib, unda doimiy harakatlar hamma joyda zich va hamma joyda zich traektoriya mavjud. Bunday to'plamlar giperbolik deb ataladi. Bunday to'plamlar mavjudligining eng universal mezoni gomoklinik Puankare orbitasi bilan bog'liq - egarning doimiy harakatiga ikki baravar asimptotik traektoriya bo'lib, uning barqaror va beqaror manifoldlari tegmasdan kesishadi. Bunday tuzilmaning mavjudligi uning har qanday kichik mahallasida bir o'lchovli giperbolik to'plamning mavjudligini kafolatlaydi, ammo beqaror. Shu sababli, giperbolik to'plamning paydo bo'lishi yoki yo'qolishi bilan bog'liq bo'lgan bifurkatsiyalar odatda gomoklinik deb ataladi. Murakkab traektoriyaga ega bo'lgan tizimlarning yana bir tipik holati musbat egar qiymatiga ega bo'lgan homoklinik egar-fokusli halqalarga ega tizimlardir. Gomoklinik bifurkatsiyalar ikki turga bo'linadi: chegara, oddiy dinamikadan murakkab dinamikaga o'tishni tushuntiruvchi va ichki. Oddiy va murakkab dinamikaga ega tizimlarni bifurkatsiya yuzasi bilan ajratish mumkinligini ko'rsatadigan 1-turdagi bifurkatsiyaning tipik misoli kamida ikkita ikki tomonlama asimptotik traektoriyaga ega bo'lgan egar-egar tipidagi muvozanat holatining yo'qolishining bifurkatsiyasidir. shuningdek, qo'pol bo'lmagan gomoklinik Puankare traektoriyasiga ega bo'lgan tizimlarning bir qator bifurkatsiyalari. Biroq, bunday o'tish Sharkovskiy-Feygenbaum davrini ikki barobarga oshiradigan cheksiz bifurkatsiyalar kaskadidan oldin bo'lishi mumkin. Sinxronizatsiya muammosi bilan bog'liq holda torusni yo'q qilish muammosini ham ta'kidlaymiz.

Ichki bifurkatsiyalar holatida asosiy vazifalardan biri dinamik tizimlar fazosida qo'pol bo'lmagan tizimlar sohalarini aniqlashdir. Bu g'ayrioddiy hodisa birinchi marta 60-yillarning boshlarida Smale tomonidan ta'kidlangan. Ammo eng mashhurlari Nyuxaus mintaqalari bo'lib, ularda gomoklinik bo'lmagan Puankare traektoriyalari bo'lgan tizimlar hamma joyda zich bo'lib, har qanday buzilish tartibida doimiy harakatga ega. Xulosa shundan kelib chiqadi - chiziqli bo'lmagan dinamika uchun: qo'pol bo'lmagan gomoklinik Puankare traektoriyasini tan oladigan modellarning to'liq sifatli tahlili haqiqiy emas.

Dinamik xaosning kashf etilishi bilan bifurkatsiyalar nazariyasida g'alati attraktorlar nazariyasi bilan bog'liq yangi bob ochildi - traektoriyalarning beqaror harakati bilan chegara to'plamlarini jalb qilish. Masalan, doimiy harakatlardan farqli o'laroq, g'alati attraktorlar birlashtirilgan xususiyatga ega emas: ular turli xil (silliq yoki silliq bo'lmagan) yoki juda murakkab to'plam-nazariy tuzilishga ega bo'lgan to'plamlar bo'lishi mumkin. Chiziqli bo'lmagan dinamikaning manfaatlaridan kelib chiqqan holda, g'alati attraktorlar tizimning kichik buzilishlarida o'z xususiyatlarini saqlab qolishlari kerak. Tabiiyki, bu giperbolik attraktorlar uchun to'g'ri keladi. Ammo bir qator modellarni tahlil qilish shuni ko'rsatdiki, qo'pol bo'lmagan attraktorlar ham shunday bo'lishi mumkin. Odatiy misol Lorentz modelining g'alati attraktori \(\mathop x\limits^. = - \sigma (x - y),\mathop y\limits^. = - y + rx - xz,\mathop z\limits ^ = - bz + xy\), buning notekisligi egar tipidagi muvozanat holatining g'alati attraktorga tegishli ekanligi bilan bog'liq. n>3 o'lchamda egar-fokusni o'z ichiga olgan qo'pol bo'lmagan attraktorlar bo'lishi mumkin. Ikkinchisi gomoklinik tangentlarga ruxsat berganligi sababli, ular (yuqorida keltirilgan sabablarga ko'ra) odatda "yovvoyi" deb ataladi. G'alati attraktorlarning paydo bo'lishiga olib keladigan bifurkatsiyalarni o'rganish dolzarb muammolardan biriga aylangani aniq. Tarixiy jihatdan bu muammo gidrodinamikada turbulentlikning paydo bo'lishini tushuntirish bilan bog'liq holda paydo bo'lgan. Aynan shu munosabat bilan 40-yillarda Landau va Xopf bunday tushuntirishni torining o'lchamlarini oshirgan holda bifurkatsiyalar kaskadi misolida taklif qilishdi. Lorentz modeli ham gidrodinamik kelib chiqishiga ega. Bu erda oddiy dinamikadan g'alati attraktorga o'tish ikki gomoklinik bifurkatsiya natijasida sodir bo'ladi: gomoklinik sakkiz kapalak egarning chegara bifurkatsiyasi, buning natijasida beqaror bir o'lchovli giperbolik to'plam tug'iladi va ichki bifurkatsiya. chegara bifurkatsiyasi natijasida paydo bo'lgan egarning doimiy harakatiga birinchi bo'lib egardan chiqib ketayotgan ikkala trayektoriya ham oshiqayotgan paytdagi gomoklinik kontur. Biroq, bu nisbatan sodda stsenariy Lorentz modeli simmetriyaga ega ekanligi bilan bog'liq \((- x, - y) \to (x,y)\). Hozircha sof matematik ahamiyatga ega bo'lgan quyidagi natijani ham ta'kidlaymiz: egar-tugun doimiy harakatlarining yo'qolishi bilan bog'liq global bifurkatsiyalar natijasida bir qator giperbolik attraktorlar (Smale-Uilyams solenoidi, Anosov torus) tug'ilishi mumkin. va tori. Ko'pgina amaliy tadqiqotlarda g'alati attraktorlardan tashqari, kvazitraktorlar deb atash mumkin bo'lgan chegara to'plamlari mavjud, chunki ular giperbolik to'plamlardan tashqari, hatto hisoblanuvchi to'plamda ham barqaror doimiy harakatlarni o'z ichiga oladi. Shunga o'xshash vaziyat, masalan, salbiy farqli uch o'lchovli tizimlarda paydo bo'ladi. Kompyuter tadqiqotlarida Nyuxaus mintaqalarida modelning dinamikasi traektoriyalarning xaotik harakati bilan yaxshi bog'liq bo'lishi mumkin, chunki p.d. juda uzoq muddatlarga va tor diqqatga sazovor joylarga ega bo'lishi mumkin.

3. Yumshoq va qattiq burilish

3.1 Yumshoq va qattiq burilish tushunchasi

Bifurkatsiyalarni shartli ravishda yumshoq va qattiqga bo'lish mumkin, bu quyidagi misolda aniq ko'rsatilgan. Shaklda. 3.1 va rasm. 3.2-rasmda to'p bilan sozlanishi profil ko'rsatilgan. Har qanday omilning (parametrning) o'zgarishi natijasida asl profil o'zining konfiguratsiyasini to'pning barqaror muvozanat holatini yo'qotadigan tarzda o'zgartiradi. Bunday holda, ikkita yangi barqaror muvozanat holati "tug'iladi", ulardan biriga to'p tushadi. Qayta tiklangan profilning yangi paydo bo'lgan muvozanat holatlari barqarorlikni yo'qotgan dastlabki muvozanat holatiga yaqin joyda joylashgan. Ushbu turdagi bifurkatsiyalar yumshoq deb ataladi. Barqarorlikni yo'qotgan va uning yonida birga mavjud bo'lgan rejimdan asta-sekin yangi ish rejimi paydo bo'ladi.

Guruch. 3.1 - to'p bilan sozlanishi profil

Shaklda ko'rsatilgan profilni qayta qurish tabiati. 3.2, boshqa. Kritik qiymatdan past bo'lgan parametr qiymati uchun to'p barqaror muvozanat holatidadir. Shu bilan birga, boshqa potentsial beqaror muvozanat holati mavjud. Parametrning kritik qiymati uchun profilni qayta qurishda barqaror va beqaror holatlar biriga birlashadi. Keyin ikkalasi ham yo'q bo'lib ketadi va tizim "jumpily" yangi rejimni tanlaydi, bu avvalgisidan sezilarli darajada farq qiladi va asl rejimga yaqin emas. Ushbu turdagi bifurkatsiyalar qattiq deb tasniflanadi. Bu falokat nazariyasida birinchi navbatda tadqiqot mavzusi bo'lgan qattiq (sakrashga o'xshash) bifurkatsiyalardir.

Guruch. 3.2 - to'p bilan sozlanishi profil

4. Bifurkatsiyalarning turlari

Keyingi bo'limda uzluksiz va diskret (aks ettirish) funktsiyalarning asosiy turlari va bifurkatsiyasiga misollar tasvirlanadi.

4.1 Tangent (egar-tugun) bifurkatsiyasi

Differensial tenglama bilan tavsiflangan tizim misolidan foydalanib, egar-tugun bifurkatsiyasi misolini ko'rib chiqaylik:

\[\frac((dx))((dt)) = \lambda — (x^2)\]

bu erda \(\lambda \) o'zgaruvchan parametrdir. Muvozanat yechimlari \(x_((\rm(1))(\rm(,2)))^(\rm()) = \pm \sqrt \lambda \) tenglamalari faqat \(\lambda \ge 0 uchun aniqlanadi. \ ); \(\lambda< 0\) равновесные состояния отсутствуют. Значение \(\lambda = 0\) является бифуркационным. На рис. 4.2 изображена соответствующая бифуркационная диаграмма. Как видно из рисунка, из точки бифуркации \((x = 0,\;\lambda = 0)\) выходят две ветви равновесных состояний, одна из которых устойчивая, а вторая - неустойчивая. При варьировании параметра в сторону увеличения значений из «ничего» рождаются два состояния равновесия, одно из которых устойчиво. Бифуркации такого рода относят к типу «седло-узел».

Guruch. 4.1 - Tangens (egar-tugun) bifurkatsiyaga ega bo'lgan tizimning vaqt xarakteristikasi

4.2-rasm - Tangens (egar-tugun) bifurkatsiya diagrammasi

4.2 Transkritik bifurkatsiya (“barqarorlik almashinuvi” turidagi bifurkatsiya)

Biz tizimda "barqarorlik almashinuvi" turining bifurkatsiyasini ko'rsatamiz

\[\frac((dx))((dt)) = x\lambda — (x^2)\]

Tenglama ikkita muvozanat yechimiga ega: \(x_1^(\rm()) = 0,\;x_2^(\rm()) = \lambda\). Birinchi yechim uchun barqaror va barqaror emas; ikkinchisi \(\lambda< 0\) и неустойчиво при \(\lambda >0\). Ikkala yechim ham bifurkatsiya nuqtasida \((x = 0,\;\lambda = 0)\) "barqarorlikni almashtiradi" deb aytish odatiy holdir. Shaklda. 4.3, tegishli funksiya grafiklari keltirilgan.

Guruch. 4.3 - Transkritik bifurkatsiyali tizimning vaqt xarakteristikalari

Guruch. 4.4 - Transkritik bifurkatsiya diagrammasi

4.3 Vilkalarning bifurkatsiyasi

Vilka tipidagi bifurkatsiya shaklning differentsial tenglamasi bilan tavsiflanadi

\[\frac((dx))((dt)) = \lambda x — (x^3)\]

Bu tenglamaning bitta muvozanat yechimi bor \(\lambda uchun \(x_1^(\rm()) = 0 \)< 0\) и три равновесных решения \(x_1^{\rm{}} = 0,\;x_{{\rm{2}}{\rm{,3}}}^{\rm{}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda >0\). Tegishli funktsiya grafiklari (4.6-rasm) \(x\) o'qiga nisbatan simmetrikdir. Bunday holda, bifurkatsiya nuqtasidan muvozanat holatining uchta tarmog'i paydo bo'ladi: ikkita barqaror va bitta beqaror.

Guruch. 4.5 - "Fork" bifurkatsiyasi bo'lgan tizimning vaqt xususiyatlari

Guruch. 4.4 - "vilkalar" bifurkatsiya diagrammasi

Vilka tipidagi bifurkatsiya nazariy fizikada keng ko'lamda ko'rib chiqiladi, chunki ba'zi nazariyalar o'z-o'zidan simmetriya buzilishini tushuntirishga asoslangan (barqaror muvozanat nuqtasi \(x_1^(\rm()) = 0\) \(\lambda).< 0\) отвечает симметричному состоянию, например, отсутствию намагниченности, а рождающиеся устойчивые точки равновесия \({x^{\rm{}}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda >0\) – simmetriya buzilgan holat). Xususan, L. D. Landau tomonidan taklif qilingan ikkinchi turdagi o‘tishlar nazariyasi ana shu bifurkatsiyaga asoslanadi. Unda ko'pincha \(\ lambda \) parametrining rolini kritik qiymatdan haroratning og'ishi o'ynaydi va \(x\) miqdori "tartib parametri" deb ataladi.
Ko'rib chiqilgan bifurkatsiyalar superkritik yoki normal deb ataladi. Ularning o'ziga xosligi shundaki, tegishli tenglamalarning chiziqli bo'lmagan shartlari \((x^2)\) va \((x^3)\) tizimning barqaror muvozanat holatini olishga yordam beradigan ta'sirga ega. Biroq, chiziqli bo'lmagan atamalar oldidagi belgilar o'zgarganda, ikkinchisi allaqachon tizimga beqarorlashtiruvchi ta'sir ko'rsatadi. Bunday hollarda subkritik yoki teskari bifurkatsiyalar paydo bo'ladi.

4.4 Andronov-Xopfning bifurkatsiyasi

Dinamik tizimlarda muvozanat holatlarining bifurkatsiyasiga qo'shimcha ravishda, parametr o'zgarganda, faza portreti strukturasining yana bir qayta tuzilishi mumkin. Ushbu turdagi bifurkatsiya belgilangan nuqtadan chegara tsiklining tug'ilishini o'z ichiga oladi va yuqorida keltirilganlarga qaraganda ancha murakkab.
Nochiziqli model quyidagi tenglama bilan tavsiflansin:

\[\frac((dz))((dt)) = (\mu + j\eta)z - z(\left| z \right|^2)\]

bu erda \(z\) kompleks o'zgaruvchi; \(\mu + j\eta \) murakkab parametr, \(j \) esa xayoliy birlik, \(\mu \) turli xil bifurkatsiya parametridir.

Tenglama vilkalar tipidagi bifurkatsiyaning murakkab analogidir. Barcha muvozanatli yechimlarni aniqlash uchun kompleks o'zgaruvchini \(z\) almashtirish kerak:

bu erda \((x_1)\) va \((x_2)\) yangi real o'zgaruvchilardir.

Dastlabki DE ga \(z\) ni almashtirish natijasida ikkita birinchi tartibli tenglamalar tizimi olinadi:

\[\begin(massiv)(l)
((\nuqta x)_1) = [\mu - (x_1^2 + x_2^2)](x_1) - \eta (x_2)\\
((\nuqta x)_2) = [\mu — (x_1^2 + x_2^2)](x_2) + \eta (x_1)
\end (massiv)\]

Shunday qilib, biz bu erda haqiqiy parametrlarga ega ikkinchi tartibli modelga o'tdik. Olingan tenglamalar bir-biri bilan kompleks oʻzgaruvchi \(z\) orqali bogʻlanadi va quyidagi ikkita statsionar yechimga ega:

\[(x_1) = (x_2) = 0 \ at \ z = 0 \\
x_1^2 + x_2^2 = (\chap| z \o'ng|^2) = \mu \at \z \ne 0\]

Birinchi yechim beqaror va bifurkatsiya nuqtasiga to‘g‘ri keladi, ikkinchi yechim esa \(((x_1),\;(x_2),\;\mu) koordinata fazosida \(\sqrt \mu\) radiusli doirani belgilaydi. )\). Shaklda. 4.5-rasmda belgilangan \(\mu\) uchun faza traektoriyalari ko'rsatilgan.

Guruch. 4.5 - Andronov-Xopf bifurkatsiyasi bilan tizimning fazali portreti

4.5 Tsiklning bifurkatsiyalari

Ikkinchi tartibli dinamik tizimlarda chegara sikllarining shakllanishi Andronov-Hopf bifurkatsiyasiga to'g'ri keladi. Shunday qilib, masofadan boshqarish tizimi tomonidan taqdim etilgan model uchun

\[\begin(massiv)(l)
\frac((d(x_1)))((dt)) = (x_2) - (x_1)(x_1^2 + x_2^2 - \lambda)\\
\frac((d(x_2)))((dt)) = - (x_1) - (x_2)(x_1^2 + x_2^2 - \lambda)
\end (massiv)\]

\(\lambda = 0\) nuqtasi bifurkatsiya nuqtasidir. \(\lambda \) nol muvozanat holatidan salbiy qiymatdan musbat qiymatlarga o'tganda \(((x_1) = 0,(x_2) = 0)\) davriy orbita \(x_1^2 + x_2^2 = \lambda \) filiallari o'chiriladi ), barqaror chegara aylanishiga mos keladi. Bunday holda, birlik nuqtaning xarakteri o'zgaradi: turg'unlikdan u beqaror bo'ladi (4.6-rasm).

Guruch. 4.6 - sikl bifurkatsiyasi bo'lgan tizimning fazali portreti

4.6 Bifurkatsiya davrining ikki baravar ko'payishi

Endi aks ettirishning bifurkatsiyalarini ko'rib chiqing. Bir o'lchovli xaritalash evolyutsiya jarayonining eng oddiy modeli bo'lib, tizim holati bitta o'zgaruvchi bilan tavsiflanadi va vaqt diskretdir. Misol tariqasida, biologik populyatsiya dinamikasi bo'lishi mumkin, agar uning populyatsiyasi, masalan, yiliga bir marta kuzatilsa.

Bifurkatsiya davrining ikki baravar ko'payishini tavsiflovchi eng oddiy model logistik xaritalash bo'lishi mumkin

\[(x_(n + 1)) = 1 — \lambda x_n^2\]

Uning aniq nuqtalari #\((x_0) = 1 - \lambda x_0^2\) mos kvadrat tenglamaning yechimidan topiladi, shuning uchun

\[(x_0) = \frac(( - 1 \pm \sqrt (1 + 4\lambda ) ))((2\lambda ))\]

\(\lambda = -0,25\) da tangens bifurkatsiya sodir bo'ladi, buning natijasida beqaror va barqaror nuqtalar paydo bo'ladi.

Maxima matematik paketining buyrug'i yordamida bifurkatsiya diagrammasini (4.7-rasm) tuzamiz.

Ko‘rib chiqish

Bifurkatsiya - bu dinamik tizimning parametrlarini ozgina o'zgartirish bilan harakatlarida yangi sifatga ega bo'lish.

Bifurkatsiya nazariyasining markaziy kontseptsiyasi (qo'pol bo'lmagan) tizim tushunchasidir (pastga qarang). Biz har qanday dinamik tizimni olamiz va dinamik tizimlarning shunday (ko'p) parametrli oilasini ko'rib chiqamizki, dastlabki tizim alohida holat sifatida olinadi - parametrning (parametrlarning) har qanday qiymati uchun. Agar parametr qiymatlari berilgan qiymatga etarlicha yaqin bo'lsa, faza fazosining traektoriyalarga bo'linishining sifatli tasviri saqlanib qolsa, bunday tizim deyiladi. qo'pol. Aks holda, agar bunday mahalla mavjud bo'lmasa, unda tizim chaqiriladi qo'pol emas.

Shunday qilib, parametr maydonida qo'pol bo'lmagan tizimlardan tashkil topgan sirtlar bilan ajratilgan qo'pol tizimlarning hududlari paydo bo'ladi. Bifurkatsiyalar nazariyasi sifat rasmining ma'lum bir egri chiziq bo'ylab parametrning uzluksiz o'zgarishiga bog'liqligini o'rganadi. Sifatli tasvirni o'zgartirish sxemasi deyiladi bifurkatsiya diagrammasi.

Bifurkatsiya nazariyasining asosiy usullari - buzilish nazariyasi usullari. Xususan, amal qiladi kichik parametr usuli(Pontryagina).

Muvozanatlarning bifurkatsiyasi

Mexanik tizimlarda, qoida tariqasida, barqaror holatdagi harakatlar (muvozanat pozitsiyalari yoki nisbiy muvozanat) parametrlarga bog'liq. Muvozanat sonining o'zgarishi kuzatiladigan parametr qiymatlari deyiladi bifurkatsiya qiymatlari. Holatlar va parametrlar fazosidagi muvozanatlar to'plamini tasvirlaydigan egri chiziqlar yoki sirtlar deyiladi. bifurkatsiya egri chiziqlari yoki bifurkatsiya yuzalari. Parametrning bifurkatsiya qiymati orqali o'tishi, qoida tariqasida, muvozanatning barqarorlik xususiyatlarining o'zgarishi bilan birga keladi. Muvozanatning ikkiga bo'linishi davriy va boshqa, murakkabroq harakatlarning tug'ilishi bilan birga bo'lishi mumkin.

Asosiy tushunchalar

Shuningdek qarang

Adabiyot

  1. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. M., Mayer A. G. Dinamik tizimlarning tekislikdagi bifurkatsiyalari nazariyasi. M.: Nauka, 1967 yil.
  2. Bautin N. N., Leontovich E. A. Tekislikdagi dinamik tizimlarni sifatli tadqiq qilish usullari va usullari. M.: Fan. Ch. ed. fizika va matematika lit., 1990. 488 b. (Matematika ma'lumot kutubxonasi.)
  3. Chetaev N. G. Harakatning barqarorligi. M.: Fan. 1955 yil.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Bifurkatsiya nazariyasi" nima ekanligini ko'ring:

    Falokat nazariyasi - matematikaning differensial tenglamalarning (dinamik tizimlarning) bifurkatsiyalari nazariyasini va silliq xaritalashlarning yagonaligi nazariyasini o'z ichiga olgan bo'limi. “Katastrofa” va “halokat nazariyasi” atamalarini Rene Tom va... ... Vikipediya kiritgan.

    Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Falokat nazariyasi (maʼnolari). Falokat nazariyasi — matematikaning differensial tenglamalarning (dinamik tizimlarning) bifurkatsiyalari nazariyasini va silliq tekilliklar nazariyasini o‘z ichiga olgan bo‘limi... ... Vikipediya

    Falokat nazariyasi: Falokat nazariyasi matematikaning differensial tenglamalarning bifurkatsiyalari nazariyasini (dinamik tizimlar) va silliq xaritalashlarning o'ziga xosliklari nazariyasini o'z ichiga olgan bo'limidir. Katastrofizm (falokat nazariyasi) tizimi... ... Vikipediya

    Asosiy maqola: Bifurkatsiyalar nazariyasi Bifurkatsiyalar kaskadi (Feygenbaum ketma-ketligi yoki davrning ikki baravar ko'payishi stsenariysi) tartibdan tartibsizlikka, oddiy davriy rejimdan murakkab aperiodik rejimga o'tishning odatiy stsenariylaridan biridir ... ... Vikipediya

    X.Uitni tomonidan differensiallanuvchi (silliq) xaritalashlarning singulyativliklari nazariyasi va A.Puankare va A.A.Andronovlarning bifurkatsiyalar nazariyasining qo‘llanilish sohalari to‘plami. Ism 1972 yilda R. Torn tomonidan kiritilgan K. t geom. va jismoniy ...... Jismoniy ensiklopediya

    BIFURCATION, dinamik tizimning parametrlarini ozgina o'zgartirish bilan harakatlarida yangi sifatga ega bo'lish. Bifurkatsiya nazariyasining asoslarini dastlab A. Puankare va A. M. Lyapunovlar qo‘ygan. 20-asr, keyin bu nazariya A. A. Andronov va uning shogirdlari tomonidan ishlab chiqilgan... ensiklopedik lug'at

    - (yunoncha katastrof burilish, inqilobdan), 1) silliq (differentsiallanadigan) xaritalashlarning singulyativliklari nazariyasi va bifurkatsiyalar nazariyasining qo'llanilishi to'plami. Silliq xaritalar hamma joyda bo'lgani uchun ularning o'ziga xosligi hamma joyda mavjud... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

    Vikipediyada bu familiyali boshqa odamlar haqida maqolalar bor, qarang: Yudovich. Viktor Iosifovich Yudovich Tug'ilgan sanasi: 1934 yil 4 oktyabr (1934 yil 10 04) Tug'ilgan joyi: Tbilisi, SSSR O'lim sanasi ... Vikipediya

    Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang. Qaldirg'och dumi uch o'lchovli kosmosdagi tartibsiz sirt bo'lib, uni bir nechta ekvivalent usullar bilan aniqlash mumkin. Keling,... ... Vikipediyani ko'rib chiqaylik

    Asosiy maqola: Bifurkatsiyalar nazariyasi Feygenbaum doimiysi universal konstanta bo‘lib, deterministik xaosga o‘tish davrida ikki barobar ko‘payadigan bifurkatsiyalarning cheksiz davr kaskadini tavsiflaydi (Feygenbaum stsenariysi). Mitchell tomonidan kashf etilgan... ... Vikipediya

Ko'pgina bilim sohalarida (biologiya, geografiya, pedagogika) "bifurkatsiya" atamasi "bifurkatsiya", "ajralish" degan ma'noni anglatadi. Chiziqli bo'lmagan dinamikada "bifurkatsiya" atamasi kengroq talqin qilinadi - bu boshqaruv parametrlarining kichik o'zgarishi bilan tizim holatidagi sifat o'zgarishi. Kiril va Metyusning "Umumjahon entsiklopediyasidan" ta'rifi: Bifurkatsiya, uning parametrlarida kichik o'zgarishlar bilan dinamik tizim harakatlarida yangi sifatga ega bo'lish. Bifurkatsiya nazariyasining asoslarini dastlab A. Puankare va A. M. Lyapunovlar qo‘ygan. XX asr, keyin bu nazariyani A.A. Andronov va talabalar. Asosiy bifurkatsiyalarni bilish haqiqiy tizimlarni (fizik, kimyoviy, biologik va boshqalar) o'rganishni sezilarli darajada osonlashtirishga, xususan, tizimning sifat jihatidan o'tish paytida yuzaga keladigan yangi harakatlarning tabiatini bashorat qilishga imkon beradi. turli holat, ularning barqarorligi va mavjudlik mintaqasini baholash.

Misol tariqasida oddiy mexanik tizimni ko'rib chiqaylik: truba bo'ylab aylanib yuruvchi shar, uning profili munosabat yordamida aniqlanadi:

(8.1) y(x) = x 4 + ax 2 + bx

Ko'rib chiqilayotgan tizimni tushuntiruvchi tegishli grafik rasmda keltirilgan. 8.1. Bu yerga X- to'pning joylashishini noyob tarzda aniqlaydigan o'zgaruvchi (va shuning uchun tizimning ko'rib chiqilayotgan vaqtda holati), A Va b- ko'rib chiqilayotgan trubaning profilini aniqlaydigan nazorat parametrlari. Nazorat parametrlarining qiymatlarini o'zgartirganda A Va b xandaqning profili o'zgaradi, bu tizim holatining o'zgarishiga olib keladi - muvozanat holatining joylashuvi o'zgaradi, to'p yangi muvozanat holatiga o'tadi (o'zgaruvchining qiymati o'zgaradi X). Shunday qilib, nazorat parametrlarini o'zgartirish A Va b, biz tizim holatini o'zgartirishimiz mumkin.



Guruch. 8.1. Potentsial quduqda to'p ( A = –0,8; b= 1). Koordinata x 0 to'pning joylashishini, parametrlarini aniqlaydi A Va b- oluk profili

Boshqarish parametrlarining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini tekislik sifatida tasavvur qilish mumkin ( a, b), boshqaruv parametrlari tekisligi deb ataladi. Ushbu tekislikdagi har qanday nuqta to'p aylanayotgan truba profilining bir turiga juda mos keladi. Va aksincha, (8.1) shakldagi har qanday xandaqni tekislikdagi nuqta bilan yozish mumkin ( a, b). Agar ikkita emas, balki ko'proq nazorat parametrlari (masalan, uchta) bo'lsa, biz parametrlar maydoni haqida gapirgan bo'lardik. Biroq, keling, "bifurkatsiya" tushunchasiga qaytaylik. Gap shundaki, boshqaruv parametrlari qiymatlaridagi kichik o'zgarishlar bilan tizim holatida sifat o'zgarishi sodir bo'ladi. Keling, ikkita muhim jihatni ta'kidlaymiz: nazorat parametrlari qiymatlaridagi kichik o'zgarishlar va tizim holatidagi sifat o'zgarishi. Boshqacha qilib aytganda, boshqaruv parametrlarining har qanday (kichik) o'zgarishi, albatta, tizim holatining o'zgarishiga olib keladi, lekin agar boshlang'ich va yakuniy holatlar o'rtasidagi farqlar sifat jihatidan farq qilmasa, unda bifurkatsiya haqida gapira olmaymiz.

Keling, buni potentsial teshikdagi to'p misolidan foydalanib tushuntiramiz. Shaklda. 8.2 nazorat parametrlarining tekisligini ko'rsatadi ( a, b), va ba'zi nuqtalarda to'p aylana oladigan yivning profili ko'rsatiladi. Rasmdan ko'rinib turibdiki, masalan, parametr tekisligining 3 va 4-bandlarida oluk profillari, albatta, bir-biridan farq qiladi, ammo bu farq sifat jihatidan emas, balki miqdoriydir. Sifat jihatidan bu ikkala profil ham bir-biriga o'xshash: ular bitta minimal va shuning uchun bitta barqaror muvozanat holatiga ega. Shu bilan birga, parametr tekisligida xandaq uchta muvozanat holatiga ega bo'lgan mintaqa (nuqtali chiziqlar bilan cheklangan) mavjud. Yivning uchta nuqtasi bor, unda to'p muvozanatda bo'lishi mumkin; bu holatlarning ikkitasi barqaror, biri esa beqaror.

Guruch. 8.2. Tekshirish parametr tekisligi ( a, b) va parametr tekisligining ba'zi nuqtalarida potentsial quduqning ko'rinishi

Agar to'p barqaror bo'lmagan muvozanat holatida bo'lsa (8.3-rasm), unda undagi har qanday kichik ta'sirlar (va bunday ta'sirlar ertami-kechmi amalga oshishi aniq) to'pni ushbu muvozanat holatidan olib tashlaydi va u teshiklardan biriga aylantiring - chapga yoki o'ngga. Chap va o'ng teshiklarda ham to'p istalgancha barqaror muvozanat holatida bo'ladi. Bu ikki teshikdan qaysi biriga to‘p tushishi tasodifan aniqlanadi. Bir nechta barqaror holatlar mumkin bo'lgan bunday tizimlar (tabiiyki, ulardan faqat bittasi amalga oshiriladi) ko'p barqarorlik, hodisaning o'zi esa ko'p barqarorlik deb ataladi.

Guruch. 8.3. Beqaror muvozanat holatidagi tizim. Tizimga kichik tashqi ta'sirlar muqarrar ravishda tizimning barqaror muvozanat holatiga o'tishiga olib keladi.

Ikki chuqurchaga (va uchta muvozanat holatiga) ega bo'lgan chuqurlik bir muvozanat holatiga ega bo'lgan novdan sifat jihatidan farq qilishi aniq. Bir holatdan boshqasiga o'tish, sifat jihatidan farq qiladigan, siz taxmin qilganingizdek, nuqtali chiziqlar bo'yicha amalga oshiriladi (8.2-rasmga qarang). Agar siz nazorat parametrlari tekisligidagi nuqta chizig'iga etarlicha yaqinlashsangiz, boshqaruv parametrini biroz o'zgartirib, siz ushbu chiziqni kesib o'tishingiz mumkin, bu butun tizimni sifatli qayta qurishga olib keladi. Bifurkatsiya deb ataladigan narsa sodir bo'ladi: boshqaruv parametrlarining kichik o'zgarishi bilan tizim holatining sifat jihatidan o'zgarishi. Bifurkatsiya sodir bo'ladigan kesishgan chiziq bifurkatsiya chizig'i deb ataladi va bifurkatsiya kuzatiladigan parametrlarning qiymatlari bifurkatsiya parametrlari deb ataladi.

Keling, truba ichida joylashgan to'p nuqtai nazaridan yuzaga keladigan hodisalarning mohiyatini ko'rib chiqaylik. Tekshirish parametrlariga ruxsat bering A Va b rasmdagi o'q bilan ko'rsatilganidek, asta-sekin o'zgartiring. 8.4. Nazorat parametrlarining o'zgarishiga qarab, trubaning profili doimiy ravishda o'zgarib turadi. Parametr tekisligining 1-nuqtasida novda bitta barqaror muvozanat holati mavjud bo'lib, unda to'p joylashgan. 2-bandda nuqta chiziqni kesib o'tganda, chuqurlikda yana bir minimal va bitta maksimal ko'rinadi, ya'ni. yana ikkita muvozanat holati paydo bo'ladi, ulardan biri barqaror (minimal), ikkinchisi esa barqaror emas. Ko'rsatilgan marshrut bo'ylab parametr tekisligi bo'ylab harakatlanayotganda, ikkinchi minimal chuqurroq va chuqurroq bo'ladi (3-nuqta) va 4-bandga erishilganda, xandaqning ikkala chuqurining chuqurligi bir xil bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkala muvozanat holati ham "teng" bo'ladi. Ammo shuni ta'kidlab o'tamizki, to'p hali ham ikkinchi muvozanat holatining paydo bo'lishini "sezmagan". To'p uchun deyarli hech narsa o'zgarmadi: u teshikda edi va u erda qolishda davom etmoqda. Ha, nazorat parametrlarini o'zgartirish koordinatani o'zgartiradi x 0 muvozanat holati va, demak, to'pning joylashuvi koordinatasi, lekin bu o'zgarish shunchalik ahamiyatsizki, to'p unga unchalik ahamiyat bermaydi. Yumshoq, kichik o'zgarishlar sezilmaydi va ahamiyatsiz ko'rinadi.

Guruch. 8.4. O'q bilan ko'rsatilgan yo'nalishda parametr tekisligi bo'ylab harakatlanayotganda tizim holatini o'zgartirish

Haqiqatan ham har kuni ertalab biz bir kunga qaridik deb o'ylaymizmi? 15-yanvarda kunning uzunligi 7 soat 39 daqiqa, 16-yanvarda esa 7 soat 42 minut boʻlganiga eʼtibor beramizmi? Kuz kuni barglarning avvalgi kunga qaraganda biroz sarg'ayganini payqayapmizmi? Mana shunday kichik o'zgarishlar sezilmaydigan tarzda to'planadi, biz ularga e'tibor bermaymiz. Tekshirish parametrlari tekisligi bo'ylab harakatlanayotganda muvozanat holatining koordinatasini nuqtadan nuqtaga ozgina o'zgartirish shunchalik ahamiyatsiz va ahamiyatsiz narsadirki, to'p unga e'tibor bermaydi. Ehtimol, to'p qiziqarli va muhim bo'lishi mumkin bo'lgan ikkinchi holatning ko'rinishini topishi mumkin, ammo bu ikkinchi holat to'pga ko'rinmas bo'lib qoladi, u xandaqning baland devorlari bilan yashiringan va to'p oddiygina mavjudligi haqida bilmaydi.

Boshqarish parametrlari tekisligi bo'ylab harakatlanishni davom ettiramiz. 5-bandda ikkinchi, "muqobil" minimalning chuqurligi to'p joylashgan minimal chuqurlikdan oshadi va ikkinchi minimalning kengligi ham birinchisining kengligidan kattaroqdir. Aniqki, ikkinchi barqaror muvozanat holati endi birinchisiga qaraganda afzalroq. Biroq, to'p hali ham birinchi muvozanat holatida "yashaydi" va buning uchun, umuman olganda, hech narsa o'zgarmadi. Muvozanatning ikkinchi holati hali ham unga ko'rinmaydi. Garchi hozir to'p, agar u e'tibor bersa, tizimda biror narsa o'zgarganligini bilvosita belgilar bilan aniqlashi mumkin: u joylashgan teshikning devorlari kamroq tik bo'lib, teshikning chuqurligi kichikroq bo'lib qolganga o'xshaydi. Ammo to'p bu kichik o'zgarishlarning orqasida (bu keyingi voqealarning xabarchisi) atrof-muhitdagi ba'zi o'zgarishlardan ko'ra jiddiyroq narsani ko'ra oladimi yoki yo'qmi, uning hozirgi muvozanat holati tahdid ostida ekanligini tushuna oladimi? uning, to'pning, "insight" . Bunday oddiy mexanik tizimda, ehtimol, bu juda qiyin emas, ayniqsa, to'pning ba'zi tajribasi bo'lsa, ya'ni. agar u bir necha marta shunga o'xshash vaziyatlarda bo'lgan bo'lsa. Axir, kichik harakat, nazorat parametrlarining biroz o'zgarishi va to'p juda uzoq vaqt davomida bo'lgan muvozanat holati yo'qoladi (6-band) va to'p butunlay boshqa holatga tashlanadi.

Keling, buyuk Eyler tomonidan ko'rib chiqilgan bifurkatsiyaning yana bir klassik misolini keltiraylik. Bizga o'lchov o'lchagichi, ingichka stol pichog'i, arra pichog'i, uzun plastik taroq va boshqalar kerak bo'ladi. Uni vertikal ravishda mustahkam poydevorga qo'ying va qo'lingizni shikastlanishdan himoya qilib, uni bosishni boshlang (8.5-rasm). Harakatni oshirish F, buni qachon topasiz F b O ma'lum bir qiymatdan kattaroq Fb chiziq dastlabki tekis shaklini saqlamaydi (8.5a-rasm) - bu holat barqarorlikni yo'qotadi va uning o'rniga chiziq kavisli bo'lganda ikkita boshqa holatdan biri (8.5b-rasmda 1 yoki 2) mumkin. Bundan tashqari, qanday holat o'rnatilishi turli xil kichik omillarga bog'liq (tasmaning dastlabki deformatsiyasi, qo'llaniladigan kuchning vertikalidan og'ishi, tebranishlar va boshqalar). Bu yerga F- nazorat parametri, Fb- uning bifurkatsiya qiymati.

Guruch. 8.5. Chizgich bilan tajriba: a) o'lchagichning bifurkatsiyadan oldingi holati (qiymat F bifurkatsiya qiymatidan kamroq); b) kuch oshib ketganda tizim kiradigan ikkita mumkin bo'lgan barqaror holat F bifurkatsiya qiymati Fb; v) mos keladigan bifurkatsiya diagrammasi

Ko'rib chiqilayotgan tizimda nima sodir bo'layotganini grafiklar yordamida tasvirlash qulay (8.5c-rasm, bu erda X- chiziqning o'rta nuqtasining vertikaldan og'ishi) - bifurkatsiya diagrammalari. Rasmda parametr qiymatlari gorizontal ravishda chizilgan va tizimda o'rnatilgan mos keladigan o'zgaruvchan qiymatlar vertikal ravishda chizilgan (ya'ni, bu faza tekisligi yoki parametr tekisligi emas, balki birlashtirilgan narsa). Diagramma shuni ko'rsatadiki, 0 raqami bilan belgilangan bitta holat o'rniga, bifurkatsiyadan keyin 1 va 2 holatlar mavjud va amalda 0 holatiga kelsak, u printsipial ravishda qiymatlarda mavjud bo'lib qoladi F, b O kattaroq bifurkatsiya, lekin uning beqarorligi tufayli amalda amalga oshirib bo'lmaydi.

Ko'rinib turibdiki, "bifurkatsiya" (nazorat parametrlarida kichik o'zgarishlar bilan tizim holatining sifat jihatidan o'zgarishi) ta'rifiga kiruvchi hodisalarni ijtimoiy tizimlarda osongina topish mumkin. Bunga misol qilib, insoniyat jamiyatining odatiy hayotini tubdan qayta quruvchi inqilobni keltirish mumkin. Kamroq "global" misollar ham mumkin. Odam qayerdadir ishlab, ishlaydi, birdaniga arzimagan narsa tufayli: “Olov bilan yondiring, buning hammasi charaga”, deydi va iste'foga ariza yozadi. Tizim boshqa, sifat jihatidan boshqacha holatga o'tadi.

Shu bilan birga, quyidagi jihatni ta'kidlash kerak: ijtimoiy tizimlar juda murakkab va shuning uchun nochiziqli dinamikada mavjud bo'lgan tushunchalarni bunday tizimlarga (jumladan, "bifurkatsiya", "ko'p barqarorlik" tushunchalarini) qo'llash ehtiyotkorlik bilan amalga oshirilishi kerakligini yodda tutish kerak. , shuni yodda tutingki, oddiy mexanik uzatish xatolarga va ba'zan hatto soxtalashtirishga olib kelishi mumkin. Potensial quduqdagi to'p haqida gapirganda, biz tizimning qanday mumkin bo'lgan holatlari haqida gapirayotgani, ularning qaysi biri barqaror, qaysi biri barqaror emasligi va nihoyat, hozirgi vaqtda qaysi holat amalga oshirilayotganligi to'liq aniq bo'ladi. . Ammo ijtimoiy tizimning mumkin bo'lgan holatlari nimani anglatadi? Vaqtning ma'lum bir lahzasida amalga oshiriladigan holat - boshqa davlatlar haqida, ular "mavjud" yoki yo'qmi (aniqrog'i, ular hozirgi o'rniga amalga oshishi mumkinmi) yoki yo'qmi, biz faqat taxmin qilishimiz mumkin; Bizning taxminlarimiz taxminlar bo'lib qoladi, ularning ishonchliligi haqida biz ham o'z xulosalarimizni chiqarishimiz mumkin, lekin ko'proq emas. Ko'rinishidan, "ko'p barqarorlik" tushunchasi ijtimoiy tizimlarga nisbatan qo'llanilishi mumkin, ammo ijtimoiy tizimlarda ko'p barqarorlik mavjudligini "eksperimental" tekshirish mumkin emas. Vaqtning har qanday qat'iy momentida (masalan, bugungi kunda) amalga oshirilayotgan holatga qo'shimcha ravishda yana bitta (yoki bir nechta) muqobil holatlar "mavjud" ekanligini ko'rsatishning iloji yo'q, ularning har biri bitta ehtimol bilan. yoki boshqa, amalga oshirilsin. Buni taxmin qilish mumkin, ammo uni eksperimental tekshirish mumkin emas. Va, albatta, ijtimoiy tizimning bifurkatsiya nuqtasiga yaqinlashayotganini "ko'rish", "his qilish", undan keyin sifat jihatidan boshqacha davlat paydo bo'lishi ancha qiyinroq. Va agar biz potentsial teshikda joylashgan to'p deyarli oxirgi daqiqagacha yaqinlashib kelayotgan bifurkatsiyani (va tizimning boshqa holatga o'tishini) "ko'rmasligini" ko'rsak, odamlar va ijtimoiy tizimlar haqida nima deyish mumkin? . N.S. Masalan, Xrushchev tizimning bifurkatsiya nuqtasiga yaqinlashayotganini payqamadi, ta'tildan 1964 yil oktyabr oyida Markaziy Qo'mitaning Plenumiga jo'nab ketdi, natijada u Markaziy Qo'mitaning Birinchi kotibi lavozimidan ozod qilindi. va Prezidiumdan, ertasi kuni esa SSSR Vazirlar Kengashi Raisi lavozimidan chetlashtirildi. Miloddan avvalgi 44 yilda Gay Yuliy Tsezar. U shuningdek, yaqinlashib kelayotgan bifurkatsiyani sezmadi, buning uchun u o'z hayoti bilan to'ladi.

Keling, "bifurkatsiya" tushunchasi bilan bog'liq yana bir muhim jihatga e'tibor qarataylik. Tizim (parametrlar bo'yicha) bifurkatsiya nuqtasiga yaqin bo'lgan paytda, kichik buzilishlar juda muhim rol o'ynay boshlaydi. Ushbu buzilishlar tasodifiy yoki maqsadli bo'lishi mumkin, ammo ularning roli sezilarli darajada oshadi. Keling, potentsial quduqdagi to'pga qaytaylik va tizimning ikkita holatini ko'rib chiqaylik: bifurkatsiya nuqtasiga uzoq va yaqin (8.6-rasm). Ko'rinib turibdiki, tizim bifurkatsiya nuqtasidan uzoqda joylashganida, unga kichik ta'sirlar uning holatida sezilarli o'zgarishlarga olib kelmaydi: to'p avvalgi holatda qoladi. Tizimni boshqa mumkin bo'lgan holatga "tashlash" uchun ko'proq narsani qo'llash kerak O Kattaroq harakatlar. Shu bilan birga, tizim bifurkatsiya nuqtasiga yaqin bo'lsa, tizimni bir holatdan boshqasiga o'tkazish uchun hatto kichik ta'sir ham (tizim buni oldindan sezmagan bo'lar edi) etarli.

Guruch. 8.6. Bifurkatsiya nuqtasidan uzoq va yaqin joylashgan "potentsial quduqdagi to'p" tizimi

Shunday qilib, bifurkatsiya nuqtasi yaqinida tizimga kichik ta'sirlar nomutanosib ravishda katta "javoblar" ga olib kelishi mumkin. Tizim holatining o'zgarishiga olib keladigan yana bir omil - bu nazorat parametrlarining kichik o'zgarishi. Agar tizim bifurkatsiya nuqtasiga yaqin bo'lsa, unda boshqaruv parametrlarining ozgina "aralashmasi" tizim allaqachon bifurkatsiya chegarasidan tashqarida (ular aytganidek, o'ta kritik mintaqada) va tizimning o'zi, hech qanday tashqi ta'sirlarsiz yangi holatga o'tadi. Olukdagi to'p misolidan foydalanib, 6-bandda bifurkatsiya chizig'ini kesib o'tgandan so'ng (8.4-rasmga qarang), to'p shu paytgacha bo'lgan barqaror muvozanat holati beqaror bilan birlashadi va yo'qoladi va , shuning uchun to'pning boshqa muvozanat holatiga "harakat qilish" dan boshqa hech narsa qolmaydi.

Bifurkatsiya chizig'i yaqinidagi tizimlarning o'xshash xatti-harakatlariga ko'plab misollar mavjud. Ko'rinib turibdiki, moliyaviy va fond bozorlaridagi bir qator bitimlarni ham misol qilib keltirish mumkin. Muayyan moliyaviy operatsiyani amalga oshirishdan manfaatdor bo'lgan bir guruh odamlarning o'z vaqtida amalga oshirilgan uyushgan harakatlari bifurkatsiya holatiga yaqin joylashgan tizimga uni muvozanatdan chiqaradigan ta'sirga yoki ta'sirga olib keladi. nazorat parametrlarining engil harakati sodir bo'ladi va tizim o'zini o'ta kritik mintaqada topadi. Natijada, tizim yangi holatga o'tadi, masalan, nazorat paketi manfaatdor tomonning qo'liga o'tadi. Ammo agar bunday operatsiya tizim bifurkatsiya holatidan uzoqda bo'lgan bir vaqtda amalga oshirilsa, ko'p pul sarflash mumkin, ammo kerakli natijaga erishib bo'lmaydi.

Shunday qilib, bifurkatsiya holatiga yaqin joylashgan tizimga ta'sir qilish orqali keskin o'zgarishlarga erishish mumkin. Yana bir narsa shundaki, ijtimoiy tizimlar trubadagi to'p emas. Tizim bifurkatsiya nuqtasiga qachon yaqinlashayotganini aniqlash qiyin ishdir. Ammo ijtimoiy tizimlarni shu tarzda boshqarish istagi mavjud bo'lsa, teng darajada qiyin va bir xil darajada muhim vazifa - bu tizim muvozanat holatidan chiqqandan keyin qanday holatga tushishini aniqlashdir.

Biroq, tizim tanib bo'lmaydigan darajada o'zgarganda, bifurkatsiya har doim qandaydir to'satdan o'zgarish deb o'ylamasligingiz kerak. Yuqorida tavsiflangan birgalikdagi muvozanat pozitsiyalari bilan bifurkatsiya misoli eng oddiylaridan biridir. Umuman olganda, bifurkatsiyalar nazariyasida juda ko'p sonli turli xil bifurkatsiya holatlari mavjud. Masalan, bifurkatsiyalar va falokatlar o'rtasida farqlanadi; Hatto falokatlar nazariyasi ham mavjud. Shuni ta'kidlash kerakki, bifurkatsiyalar silliq, ba'zan sezilmaydigan tarzda sodir bo'lishi mumkin. Rasmdagi 2-nuqtadagi nuqta chiziqning kesishishi. 8.4 tizimning sifat jihatidan o'zgarishiga olib keladi (tizimdagi mumkin bo'lgan barqaror muvozanat holatlari soni o'zgaradi), shuning uchun bifurkatsiya sodir bo'ladi. Biroq, yuqorida aytib o'tilganidek, boshqa teshikda joylashgan to'p sodir bo'lgan bifurkatsiyani sezmaydi. Xuddi shu tizimga ega bo'lgan yana bir misol rasmda ko'rsatilgan. 8.7. Chiziq bo'ylab nazorat parametrlari tekisligi bo'ylab harakatlanayotganda b nuqtada = 0 a= 0 bifurkatsiya sodir bo'ladi, tizimning holati sifat jihatidan o'zgaradi, ammo bu o'zgarish "kataklizmlar"siz muammosiz sodir bo'ladi. To'p tizimda biror narsa o'zgarganligini sezishi mumkin, chunki uning koordinatasi x 0 dastlab (bifurkatsiyadan oldin) u nolga teng edi, keyin esa nolga teng bo'ldi. Biroq, bu o'zgarish juda asta-sekin sodir bo'ldi va hech qanday ahamiyatga ega bo'lmasligi mumkin.

Guruch. 8.7. Chiziq bo'ylab parametr tekisligi bo'ylab harakatlanayotganda tizim holatini o'zgartirish b= 0 o'q bilan ko'rsatilgan yo'nalishda

Ammo bu holatda ham, bifurkatsiya nuqtasi yaqinida, tizimga kichik ta'sirlar muhim rol o'ynaydi. Aynan shu ta'sirlar to'pning qaysi teshikka (chap yoki o'ngga) tushishini aniqlaydi. Aynan shu ahamiyatsiz ta'sirlar, umuman olganda, tizimning kelajakdagi taqdirini belgilaydi. Shaklda ko'rsatilgan vaziyatda. 8.7, kichik zarbalar to'pning o'ng teshikka tushishiga olib keldi. Agar tizim bifurkatsiya nuqtasini tark etgandan so'ng, tizimning holatini o'zgartirish kerak bo'lsa, to'pni boshqa teshikka tashlash kerak bo'lsa, u holda bifurkatsiya nuqtasida aniqlanganidan misli ko'rilmagan darajada ko'proq harakat qilish kerak bo'ladi. tizimning keyingi evolyutsiyasini tanlash. Bunday "yumshoq", ammo sezilarli bifurkatsiyaga misol sifatida demokratik saylovlar bo'lishi mumkin. Ovoz berish o'tkazilgunga qadar mamlakatning keyingi taraqqiyoti taqdiriga eng ahamiyatsiz omillar (balki nomzodning soch turmagigacha) ta'sir qilishi mumkin. Saylovlar bo'lib o'tgandan keyin biror narsani o'zgartirish ancha qiyin.

Yaqinda I. Prigojinning maqolasi e'lon qilindi "Suyak hali quyma. Kelajak avlodlarga xabar. Xususan, u quyidagilarni yozadi. “Kelajak bizga oldindan berilmagan. Buyuk frantsuz tarixchisi Fernand Braudel shunday degan edi: "Hodisalar - bu to'g'rimi?". Ushbu bifurkatsiyalar tizim bo'ylab harakatlanadigan traektoriya "tarmoqlar" ga bo'lingan maxsus nuqtalarda paydo bo'ladi, ammo ularning faqat bittasi, odatda, bitta bifurkatsiya kuzatiladi bifurkatsiyalar... Shu nuqtai nazardan qaraganda, tarix ikkilanishlar ketma-ketligi bo‘lib chiqadi”.

Keyinchalik, I. Prigogine mikroskopik darajadagi dalgalanmalar bifurkatsiya nuqtasidan keyin paydo bo'ladigan filialni tanlash uchun javobgar ekanligini ta'kidlaydi (ular sodir bo'ladigan hodisani aniqlaydi). Jamiyatga tatbiq etilganda (Prigojinning fikricha, bunday qo'llash metaforadir) hodisa bifurkatsiyadan o'tgandan keyin yangi ijtimoiy tuzilmaning paydo bo'lishini ifodalaydi va tebranishlar individual harakatlar natijasidir. Shunday qilib, hodisa mikro tuzilishga ega. Misol tariqasida I.Prigojin Rossiyada 1917-yilgi inqilobni ko‘rib chiqadi va chor tuzumining tugashi turli shakllarda bo‘lishi mumkinligini ko‘rsatadi. Uning fikricha, rivojlanish bo'lgan tarmoq podshohning oldindan ko'ra bilmasligi, uning xotinining mashhur emasligi, Kerenskiyning zaifligi va Leninning zo'ravonligi bilan bog'liq "to'lqinlanish" harakatlarining natijasidir. Ushbu mikro tuzilma keyingi barcha hodisalarni aniqladi.

“Kelajak avlodlarga aytadigan gapim shuki, o'lik hali tashlanmagan, bifurkatsiyadan keyin rivojlanish qaysi novda hali tanlanmagan. Biz tebranishlar davrida yashayapmiz, bunda individual harakatlar muhim bo'lib qolmoqda... Men zarur tebranishlar paydo bo'lishiga ishonaman, bu orqali bugun biz his qilayotgan xavf-xatarlarni muvaffaqiyatli yengib o'tish mumkin».

Bifurkatsiya

Bifurkatsiya o'z ildizlarini lotincha bifurcus - bifurcated so'zidan oladi - turli ilmiy sohalardagi turli jarayonlarni bildirish uchun ishlatiladi. Murakkab tizimlarning go'zalligi ularning dinamik harakati va doimiy rivojlanishidir. Tizim rivojlanishi uchun bir holatdan ikkinchi holatga o'tish kerak. O'tishning o'zi bifurkatsiya deb ataladi. Bu atama L. Puankare tomonidan shunga o'xshash jarayonni belgilash uchun kiritilgan. Ushbu atamaning keng qo'llanilishiga qaramay, u xuddi shu jarayonni tasvirlaydi. Turli manbalarni bo'shashmasdan umumlashtirish quyidagi ta'rifni beradi: bifurkatsiya - bu tizim barqaror holatda harakatlanadigan va ma'lum bir nuqtada uning holati beqaror bo'lib qolgan jarayon, buning natijasida u eski traektoriya bo'ylab emas, balki ikki yo'nalish bo'ylab rivojlanishda davom etadi. yangilari. Grafik jihatdan bu shunday ko'rinadi.

Grafik shuni ko'rsatadiki, tizimning vaqt ichida (t) rivojlanishi davomida, bifurkatsiya nuqtasi sifatida belgilangan ma'lum bir nuqtada, tizim bitta barqaror holat o'rniga ikkita yangi barqaror holatga ega bo'ladi va keyin bu jarayon odatda takrorlanadi. Bifurkatsiyaga juda koʻp turli misollar keltirish mumkin: daryoning bifurkatsiyasi – daryo tubi va uning vodiysining ikki tarmoqqa boʻlinishi, keyinchalik ular qoʻshilmaydi va turli havzalarga quyiladi; tibbiyotda - quvurli organning (tomir yoki bronx) bir xil burchak ostida yon tomonlarga cho'zilgan bir xil kalibrli 2 ta shoxga bo'linishi; mexanik bifurkatsiya - dinamik tizimning parametrlarini kichik o'zgartirish bilan harakatlarida yangi sifatga ega bo'lish; ta’lim muassasasining yuqori sinflarini ikki bo‘limga bo‘lish; vaqt-makonning bifurkatsiyasi (fantastikada) - vaqtning bir nechta oqimlarga bo'linishi, ularning har birida o'ziga xos voqealar sodir bo'ladi. Parallel vaqt-makonda qahramonlar turli xil hayotga ega.

Ehtimol, bifurkatsiyalar tasnifiga, keyin esa falokatlar nazariyasiga o'tish vaqti keldi.

Bifurkatsiyalar quyidagilarga bo'linadi yumshoq Va qiyin.

Yumshoq bifurkatsiya- bu bir barqaror holatdan ikkinchisiga o'tish, yangi barqaror holat esa dastlabki holatga yaqin. Bular. sifat jihatidan juda sezilarli sezilarli farqlar mavjud emas.


Qattiq bifurkatsiya - bu bifurkatsiya bo'lib, buning natijasida tizim asl holatiga o'xshamaydigan sifat jihatidan yangi barqaror holatga ega bo'ladi.


Rasmda ko'rsatilgandek, parametrning kichik o'zgarishi bilan tizim endi asl rejimga yaqin bo'lmagan yangi rejimni tanlaydi va shuning uchun sifat jihatidan farq qiladi. Aynan qattiq bifurkatsiyalar falokatlar nazariyasining asosini tashkil etdi.

Falokat nazariyasi

Kasallik yoki o'lim kabi ba'zi ofatlarning muqarrarligini isbotlash mumkin bo'lishi mumkin. Bilim muvaffaqiyat yoki omon qolish va'dasi bo'lishi shart emas: u bizning muvaffaqiyatsizligimiz, oxiratimiz aminligiga olib kelishi mumkin.

RENEE TOMA

Tabiiy ofatlar nazariyasining mohiyatini o'rganishdan oldin, ushbu mavzuning dolzarbligini tushunish kerak. Birinchi navbatda, bu boradagi mavjud yutuqlarni qayd etishni zarur deb bilaman. Birinchidan, umumbashariy oldindan belgilash haqidagi falsafiy tushunchalar o'z ma'nosini yo'qotdi, bu esa vaziyatning taxmin qilingan radikal burilishlariga ta'sir qilish imkoniyatiga umid qildi. Umid bilan birga sodir bo'layotgan voqealar, tabiatdagi, jamiyatdagi nomutanosiblik yoki u erda uyg'unlikning yo'qligi uchun javobgarlik hissi paydo bo'ldi. Muammo bu ma'lumotni iloji boricha ko'proq odamlarga taqdim etishda qolmoqda, bundan tashqari, odamlar bu ma'lumotni olishlari emas, balki bu xulosani harakatga rag'bat sifatida anglash va idrok etish haqiqati; Afsuski, bu ko'proq utopiyaga o'xshaydi, shuning uchun nazariyaning afzalliklari haqida o'ylashda davom etar ekanmiz, "falokat" atamasi ushbu hodisaning kundalik tasavvurini anglatmasligini unutmasligimiz kerak. Bu holda falokat mavjud tizimdagi tub o'zgarishdir. Asosiy vazifa, biz hozir tushunganimizdek, faqat harakat momentini va yo'nalishini to'g'ri taxmin qilishdir. Bundan tashqari, bu haqiqat bizga hatto eng umidsiz vaziyat - yaqinlashib kelayotgan "falokat" belgisi, Armageddonni emas, balki faqat o'zgarishni anglatadi, deb taxmin qilish imkoniyatini beradi.

Ko'p tarixiy misollar borki, to'g'ri vaqtda qo'llangan minimal harakatlar hamma narsani "teskari" aylantirish uchun etarli edi. Tabiiyki, "dunyoni o'zgartirish" uchun barcha urinishlar amalga oshmadi. Albatta, bu qilingan urinishlar sifatiga bog'liq, lekin sodir bo'layotgan vaqt va joy muhim rol o'ynaydi. Agar siz "lahzani to'g'ri qabul qilsangiz", eng bema'ni g'oya bilan ham siz tub o'zgarishlarga erishishingiz mumkin, agar bo'lmasa, hatto eng aqlli fikr ham vaziyatni o'zgartirmaydi. Tizimning falokat nuqtasigacha bo'lgan masofasini aniqlay olish uchun (ya'ni, bu nuqtalardan o'tayotganda eng qiziqarli narsa sodir bo'ladi), siz qattiq ishlashingiz va matematik modellarda tizimning tashqi parametrlarga bog'liqligini topishingiz kerak. , lekin men buni kimdir amalga oshirganiga shubha qilaman, aksincha, bu kelajakning huquqidir.

Kritik nuqta tizimining yondashuvini qanday aniqlash mumkin? "Faqat bayroqlari" kabi narsa bor - bu tizimning xatti-harakatlarining xususiyatlari, ular yordamida buni aniqlash mumkin. Bular: bir nechta barqaror holatlarning mavjudligi, tizim undan chiqishga intilayotgan beqaror holatlarning mavjudligi, tashqi parametrlarning ozgina o'zgarishi bilan tizimning tez o'zgarishi ehtimoli, tizimning qaytarilmasligi.

Ishonamanki, har bir kishi o'zini to'liq misol deb atash mumkin. Ko'rinib turibdiki, inson o'z hayoti kabi murakkab tizimdir. Ba'zi lahzalarda shaxs o'zining kelajagini ma'lum darajada aniqlaydigan tanlovga duch keladi (o'qish, ish, yashash joyi va boshqalar). Shu bilan birga, har qanday insonga xos bo'lgan "beqaror holat" kuzatiladi, faqat turli darajada (bu erda ikkinchi bayroq). Qoidaga ko'ra, "birinchi bayroq" ni engib, ikkinchisini doimiy ravishda qo'lida ushlab turadigan odam o'zini "uchinchi bayroq" bilan yuzma-yuz ko'radi va uni o'z tanloviga moslashtiradi. Qaror qabul qilingandan so'ng, qoida tariqasida, orqaga qaytish yo'q va bu sizning "to'rtinchi bayroq" ni urganingizning ishonchli belgisidir. Agar olim ushbu belgilardan birini aniqlasa, qolganlariga erishish qiyin bo'lmaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, bu "bayroqlar" ning yagona mumkin bo'lgan to'plami emas.

Nazariya amaliyotdan juda farq qiladi, agar biror narsa sodir bo'lsa, u hech qanday harakat qila olmaydi. Ammo u real hayotda duch keladigan hodisalarni tushunish va tushuntirishga qodir. Kundalik ma'noda falokat yoki tartibsizlik - bu halokatli, albatta halokatli va mutlaqo boshqarib bo'lmaydigan va tushuntirib bo'lmaydigan narsa. Fizika-matematika fanlari doktori A. Chulichkov ta’kidlaganidek: “Matematika nuqtai nazaridan falokat va betartiblik barcha umidlarning barbod bo‘lishi yoki boshqa baxtsizlik bo‘lishi shart emas” va men unga ishonishga moyilman. Bu holatda "falokat" nima? O'zgartirish uchun men boshqa olimdan iqtibos keltiraman - V.I. Falokatlar tashqi sharoitlarning bir tekis oʻzgarishiga tizimning toʻsatdan munosabati koʻrinishida yuzaga keladigan keskin oʻzgarishlar deyiladi”. Nazariyaning asosiy vazifasi - bunday vaziyatda (inqiroz arafasida) chalkashmaslik va nafaqat vaziyatni buzmaslikka, balki Lady Luckni o'zingizga jalb qilishga yordam beradigan to'g'ri qadamni topishdir. O'z vaqtida omadni qo'lga kiritish rejasini ishlab chiqishni boshlash uchun yana bir afsonaviy shaxs - taqdirning xabarchilari bor. Biz ularni avvalroq ko'rib chiqdik va ular "falokat bayroqlari" deb nomlanishini bilib oldik. Qolgan narsa - bu ma'lumot bilan ishlashni o'rganish, keyin porloq kelajakka yo'l kafolatlanadi, shuningdek, go'zal xonimlar - Taqdir va Omad bilan do'stona munosabatlar.

Avval aytib o'tganimizdek, falokat nazariyasi bizga murakkab tizim hayotining ma'lum bir bosqichi o'tgandan so'ng voqealarning rivojlanishi uchun stsenariylar haqida fikr beradi. Ziman, Rene Tomga bergan javobida, yetti turdagi ofatlarni aniqladi.

Men ofatlar nazariyasiga chuqurroq kirmayman, chunki bu ishning asosiy maqsadi “falokat” va “falokat” tushunchalarini ajratishdir. Va ularni nafaqat tavsiflang va tasniflang, balki ushbu mavzu bo'yicha ko'plab tadqiqotlarning sababini bilib oling va bajarilgan ishlarning natijalarini ko'rib chiqing.